Навігація
Посилання


Економіка та підприємництво

Керування грошовими потоками при здійсненні облігаційної позики


В умовах існування фондового ринку держава або господарське товариство, маючи потребу в значних обсягах грошових коштів, можуть звертатися за позикою не тільки до банківської установи, а й до широкого кола інвесторів. При цьому сума запозичуваного капіталу розподіляється на велику кількість боргових цінних паперів (облігацій), що пропонуються інвесторам.

Для керування залученими у такий спосіб коштами найважливішим є аналіз стану виконання зобов’язань перед інвесторами. Викладенню теоретичних аспектів його проведення, що базується на положеннях класичної фінансової математики (детерміністський підхід), з поданням ряду прикладів проведення алгоритму обробки числових даних за різноманітних умов погашення зобов’язань присвячено цю статтю.

І. Загальні теоретичні положення

  1. Визначення і терміни

Уведемо такі умовні позначення [3] :

С — номінальна вартість одного цінного паперу;

іk — номінальний процент, обчислений за період часу k (як правило, рік);

ck = k — інтерес або купон, що приносить один цінний папір протягом періоду k і виплачується на дату k;

n — кількість часових періодів до строку погашення;

N — загальна кількість емітованих цінних паперів;

Ak — кількість відшкодованих (амортизованих) цінних паперів на дату k;

Nk — кількість не відшкодованих цінних паперів на дату k (після здійснення усіх належних сплат на цю дату);

Rk — вартість відшкодування одного цінного паперу на дату k
(як правило, RkC; різниця (RkC) називається відшкодувальною
премією);

ak — розмір анюїтету (інтересу і амортизації), що виплачується емітентом власникам облігацій на дату k.

2. Загальні аксіоми і теореми [1]

Покладемо апріорі правильними визначення:

1) Nk = Nk – 1Ak (1  kn), (1)

причому на дату виникнення зобов’язань з погашення цінних паперів N0 = N, а на дату їх погашення Nn = 0;

2) ak = Nk – 1 Cik + AkRk = Nk – 1ck + AkRk. (2)

Остання аксіома показує, що кожний анюїтет містить виплату
Nk–1 купонів і Ak відшкодувань запозиченого капіталу на дат

у k.

Безпосередньо з наведених аксіом можна вивести такі дві теореми:

Теорема 1. Кількість не відшкодованих цінних паперів на дату k дорівнює різниці між загальною кількістю емітованих цінних паперів та кількістю цінних паперів, вартість яких відшкодована на дату k.

Доведення. Згідно (1) маємо:

N1 = NA1, N2 = N1A2, ..., Nk = Nk–1Ak.

Складаючи почленно ці k рівнянь, отримуємо:

, або для k = n : , оскільки . (3)

Якщо А1 = А2 = ... = Аd = 0, то кажуть, що має місце відстрочка відшкодування (амортизації) на d періодів.

Теорема 2. Розмір анюїтету на дату погашення є добутком кількості відшкодованих цінних паперів і суми інтересу та вартості відшкодування на дату погашення.

Доведення. Згідно з (2) маємо для k=n:

an = Nn–1cn + AnRn з Nn = Nn–1An = 0.

Зробивши підставляння, отримуємо: an = (cn + Rn) An.(4)

3. Модифікації загальних теорем

3.1. Ситуація, коли купони і відшкодування є сталими [1]

Маємо: ck = c i Rk = R. Дві загальні теореми набирають вигляду:

1) згідно з (2) маємо: ak = Nk–1c + AkR i ak + 1 = Nkc + Ak + 1R.

Віднімаючи почленно ці дві рівності, отримуємо: ak+1ak = (Nk
nk–1) c + (Ak + 1Ak) R. Згідно з (1) маємо: Ak = Nk–1Nk, звідки: ak+1
ak = –Akc + (Ak + 1Ak)R = Rak + 1 – (c + R)Ak, звідки, поклавши: c/R =
= Ci/R = r (ri):

(ak + 1ak) 1/R = Ak + 1 – (1 + r) Ak; (5)

2) закон анюїтетів: , де . (6)

Інтерпретація закону анюїтетів: теперішня вартість анюїтетів, розрахована за відсотком r, дорівнює загальній вартості відшкодування NR.

Дійсно, згідно з (2): ak = Nk–1c + AkR з Nk = Nk–1Ak, що дозволяє записати:

ak = Nk–1c + (Nk–1Nk)R = Nk–1 (c + R) – NkRak 1/R = (1 + r) Nk–1
Nk  (1 + r)k ak 1/R = (1 + r)k+1 Nk–1 – (1 + r)kNk. Поклавши
uk = (1+ r)k Nk, остаточно рівність запишеться: (1 + r)k ak 1/R = uk–1 – –uk. Здійснивши додавання, маємо:

.

Оскільки u 0 = N i u n = 0, то: .

Відповідно: Цей закон анюїтетів дозволяє обчислити всі елементи облігаційної позики, коли відома послідовність величин a k .

3.2. Нормальна амортизація [4]

Це ситуація, коли анюїтети і купони є сталими, тобто: ak = a i ck = c.

Залежно від типу відшкодування можливі два випадки:

3.2.1. Cталі відшкодування (Rk = R)

У даному випадку під час розрахунку теперішньої вартості анюїтетів згідно з (6) фактично відбувається розрахунок теперішньої вартості постійної ренти за складними відсотками 1 , тому формула закону анюїтетів запишеться:

з r = Ci/R = c/R.

Звідси:

а) ;

б) кількість цінних паперів, вартість яких має бути відшкодована (амортизована) на першу дату виплати відсотків А1:

Згідно з (2): a1 = a = Nc + A1R, звідки:

;

в) сталість величин анюїтетів обумовлює згідно з (5), що величини Аk формують геометричну прогресію з основою (r + 1), а отже,
Ak = A1 (1 + r)k–1.

З урахуванням цієї рівності, виходячи з (3), отримуємо:

.

3.2.2. Змінні відшкодування Rk

Знайдемо величини a, A1, An та Nk для випадку несталості величин Rk:

а) згідно з (2) для ck = c можна записати:

0 = ak+1ak = Nkc + Ak+1Rk+1Nk–1cAkRk= (NkNk–1) c + Ak+1Rk+1
AkRk = Ak+1Rk+1 – (c + R) Ak; відповідно Ak+1Rk+1 = (c + Rk) Ak.

Поклавши rk = c/Rk, отримуємо рекурентне відношення:

.

Отже, справедливо: A2 = (1 + r1) A1 r2/r1, ..., Ak = (1 + rk–1) Ak–1 rk/rk–1.

Помноживши почленно ( k – 1) рівності: ; (7)

б) згідно з (4) маємо: .

З іншого боку, можна записати: a = a1 = A1R1 + Nc = Nc + A1 c/r1.

Прирівнюючи ці дві рівності відносно a, отримуємо:

. Остаточно: ; (8)

в) отримана для А1 формула дає змогу записати:

; (9)

г) модифікуємо рівність a = Nkc + Ak+1Rk+1:

.

Використовуючи рівності (7) — (9), маємо:

.

Для N k отримуємо: з .

3.3 Втрачання облігацією права на купон [2]

У цій ситуації анюїтет ak містить тільки Nk (а не Nk–1) купонів, тобто:

ak = Nkc + AkRk + (AkcAkc) = (Nk + Ak)c + Ak(Rkc) = Nk–1c + AkRk,

де завдяки позначенню Rk=Rkc повертаємося до попереднього випадку, розглянутого у п. 3.2., тільки для вартості відшкодування R  k. Тому відповідно позначимо: rk = c/Rk = c/(Rkc) = (Rk/c – 1)–1 =
= (1/rk – 1)–1 = rk/(1 – rk); 1 + rk = (1 – rk)–1. Аналогічно можливі два випадки залежно від типу відшкодування.

3.3.1. Змінні відшкодування Rk

Отримані у попередньому пункті формули набувають вигляду:

а) ;

б) ;

в) рекурентне співвідношення Ak+1Rk+1 = (c + Rk)Ak модифікується таким чином: Ak+1Rk+1 = (c + Rk)Ak або: Ak+1(Rk+1c) = Ak Rk, звідки:

.

3.3.2. Cталі відшкодування (Rk = R)

Оскільки Rk= R, то відповідно і rk = r, а рівності для a, A1 i Ak+1 стануть:

а); б); в).

З рівності в) видно, що величини Ak у даному випадку формують геометричну прогресію з основою (1 – r)–1.

ІІ. Практичне використання теоретичних положень

Приклад 1. Товариство випускає облігації, що мають такі характеристики (позначення відповідають поданим у п. 1): n = 10; С =
= 1000; іk = 13% для 1  k  5, іk = 14% для 6  k  10. Відшкодування здійснюється тільки на дати 5 і 10 у розмірах: А5 = 5000, А10 = 8000; R5 = 1050, R10 = 1200. Обчислити величини анюїтетів ak.

Розв’язок. Для 1  k  4: ak = Nk–1 Cik + AkRk = Nck + 0 · Rk = 13000 
 1000 · 0,13 = 1690000. Для 6  k  9: ak = Nk–1 Cik + AkRk = (N
–5000) ck + 0 · Rk = 8000 · 1000 · 0,14 = 1120000. На дати 5 і 10 відповідно маємо: a5 = N4Ci5 + A5R5= 1690000 + 5000 · 1050 = 6940000;
a10 = N9 Ci10 + A10R10 = 1200000 + 8000 · 1200 = 10720000.

Приклад 2. Товариство випускає облігації, що мають такі характеристики: n = 10; N = 105; і = 16%; ck = c; Rk = R = 1,05 C. Обчислити величини анюїтетів ak, якщо ak+1 = q ak з q = 1,05.

Розв’язок. З умов прикладу маємо: r = Ci/R = 0,16/1,05 та 1 + r =
=121/105. Теперішня вартість анюїтетів, обчислена за відсотком r, становить згідно з (6):

, звідки: .

Здійснивши підрахунки згідно з умовами прикладу, отримуємо:  = 17750,86754. З іншого боку, згідно з (2) маємо: a1 = NCi + A1R   A1 = (a1 NCi)/R = (  CNCi)/1,05C = (  – Ni)/1,05 = 1667,492895.

Обчислене значення є очевидно неприйнятним, оскільки величини Akмають бути цілими натуральними числами. Тому обчислимо спочатку теоретичні значення Ak з точністю до 5 · 10–3, а потім округлимо отримані результати за допомогою методу цілих частин.

Згідно з (5): (ak+1ak) 1/R = (a1qka1qk–1) 1/R = (q – 1)qk–1 a1/R =
= Ak+1 – (1 + r)AkAk+1 = Ak121/105 + (1,05)k–1  /21 з  = 17 750,86754. Остаточні результати обчислень для Ak (2  k  10), починаючи з A1= 1667,492895 2:

k

A k

N k

A k R

N k c

a k 3

1

1 668

98 332

1 751 400

15 733 120

17 751 400

2

2 767

95 565

2 905 350

15 290 400

18 638 470

3

4 076

91 489

4 279 800

14 638 240

19 570 200

4

5 629

85 860

5 910 450

13 737 600

20 548 690

5

7 465

78 395

7 838 250

12 543 200

21 575 850

6

9 630

68 765

10 111 500

11 002 400

22 654 700

7

12 177

56 588

12 785 850

9 054 080

23 788 250

8

15 165

41 423

15 923 250

6 627 680

24 977 330

9

18 665

22 758

19 598 250

3 641 280

26 225 930

10

22 758

0

23 895 900

0

27 537 180

Приклад 3.Товарство емітує облігації, що мають такі характеристики: n = 8, N = 105, i = 16%, метод розрахунків з передплатниками— нормальна амортизація із змінними величинами відшкодування Rk = (0,98 + 0,02k)C. Обчислити величини анюїтетів ak.

Розв’язок. З умов прикладу маємо: rk = Ci/Rk = 0,16/(0,98 + 0,02k) =
= 8/(49 + k).

Згідно з (8): .

A k +1 R k +1 = ( c + R k ) A k  (0,98 + 0,02( k + 1)) A k +1 = (0,98 + 0,02 k + + 0,16) A k A k +1 = A k (1,14 + 0,02 k )/(1 + 0,02 k ) = A k (57 + k )/(50 + k ). Остаточні результати обчислень для A k (k  2), починаючи з A 1 = =7787,57483 4 :

k

A  k

A k

N k

R k

A kR k

N kc

a k 5

1

7 787,57

7 788

92 212

1 000

7 788 000

14 753 920

23 788 000

2

8 856,46

8 856

83 356

1 020

9 033 120

13 336 960

23 787 040

3

10 048,67

10 049

73 307

1 040

10 450 960

11 729 120

23 787 920

4

11 375,86

11 376

61 931

1 060

12 058 560

9 908 960

23 787 680

5

12 850,50

12 850

49 081

1 080

13 878 000

7 852 960

23 786 960

6

14 486,02

14 486

34 595

1 100

15 934 600

5 535 200

23 787 560

7

16 296,78

16 297

18 298

1 120

18 252 640

2 927 680

23 787 840

8

18 298,13

18 298

0

1 140

20 859 720

0

23 787 400

ЛІТЕРАТУРА

1. M. Saada . Mathematiques financieres : Presses universitaires de France, 1985. — 127 p.

2. P. Bonneau. Les mathematiques financieres et leurs applications: Dunod, 1986. — 200 p.

3. B. de Finetti. Lecons de mathematiques financieres: Dunod, 1979. — 1998 p.

4. M. Saada . Exercices et problemes de mathematiques financieres : Vuilbert, 1980. — 113 p.

В умовах існування фондового ринку держава або господарське товариство, маючи потребу в значних обсягах грошових коштів, можуть звертатися за позикою не тільки до банківської установи, а й до широкого кола інвесторів. При цьому сума запозичуваного капіталу розподіляється на велику кількість боргових цінних паперів (облігацій), що пропонуються інвесторам.

Для керування залученими у такий спосіб коштами найважливішим є аналіз стану виконання зобов’язань перед інвесторами. Викладенню теоретичних аспектів його проведення, що базується на положеннях класичної фінансової математики (детерміністський підхід), з поданням ряду прикладів проведення алгоритму обробки числових даних за різноманітних умов погашення зобов’язань присвячено цю статтю.

І. Загальні теоретичні положення

  1. Визначення і терміни

Уведемо такі умовні позначення [3] :

С — номінальна вартість одного цінного паперу;

іk — номінальний процент, обчислений за період часу k (як правило, рік);

ck = k — інтерес або купон, що приносить один цінний папір протягом періоду k і виплачується на дату k;

n — кількість часових періодів до строку погашення;

N — загальна кількість емітованих цінних паперів;

Ak — кількість відшкодованих (амортизованих) цінних паперів на дату k;

Nk — кількість не відшкодованих цінних паперів на дату k (після здійснення усіх належних сплат на цю дату);

Rk — вартість відшкодування одного цінного паперу на дату k
(як правило, RkC; різниця (RkC) називається відшкодувальною
премією);

ak — розмір анюїтету (інтересу і амортизації), що виплачується емітентом власникам облігацій на дату k.

2. Загальні аксіоми і теореми [1]

Покладемо апріорі правильними визначення:

1) Nk = Nk – 1Ak (1  kn), (1)

причому на дату виникнення зобов’язань з погашення цінних паперів N0 = N, а на дату їх погашення Nn = 0;

2) ak = Nk – 1 Cik + AkRk = Nk – 1ck + AkRk. (2)

Остання аксіома показує, що кожний анюїтет містить виплату
Nk–1 купонів і Ak відшкодувань запозиченого капіталу на дату k.

Безпосередньо з наведених аксіом можна вивести такі дві теореми:

Теорема 1. Кількість не відшкодованих цінних паперів на дату k дорівнює різниці між загальною кількістю емітованих цінних паперів та кількістю цінних паперів, вартість яких відшкодована на дату k.

Доведення. Згідно (1) маємо:

N1 = NA1, N2 = N1A2, ..., Nk = Nk–1Ak.

Складаючи почленно ці k рівнянь, отримуємо:

, або для k = n : , оскільки . (3)

Якщо А1 = А2 = ... = Аd = 0, то кажуть, що має місце відстрочка відшкодування (амортизації) на d періодів.

Теорема 2. Розмір анюїтету на дату погашення є добутком кількості відшкодованих цінних паперів і суми інтересу та вартості відшкодування на дату погашення.

Доведення. Згідно з (2) маємо для k=n:

an = Nn–1cn + AnRn з Nn = Nn–1An = 0.

Зробивши підставляння, отримуємо: an = (cn + Rn) An.(4)

3. Модифікації загальних теорем

3.1. Ситуація, коли купони і відшкодування є сталими [1]

Маємо: ck = c i Rk = R. Дві загальні теореми набирають вигляду:

1) згідно з (2) маємо: ak = Nk–1c + AkR i ak + 1 = Nkc + Ak + 1R.

Віднімаючи почленно ці дві рівності, отримуємо: ak+1ak = (Nk
nk–1) c + (Ak + 1Ak) R. Згідно з (1) маємо: Ak = Nk–1Nk, звідки: ak+1
ak = –Akc + (Ak + 1Ak)R = Rak + 1 – (c + R)Ak, звідки, поклавши: c/R =
= Ci/R = r (ri):

(ak + 1ak) 1/R = Ak + 1 – (1 + r) Ak; (5)

2) закон анюїтетів: , де . (6)

Інтерпретація закону анюїтетів: теперішня вартість анюїтетів, розрахована за відсотком r, дорівнює загальній вартості відшкодування NR.

Дійсно, згідно з (2): ak = Nk–1c + AkR з Nk = Nk–1Ak, що дозволяє записати:

ak = Nk–1c + (Nk–1Nk)R = Nk–1 (c + R) – NkRak 1/R = (1 + r) Nk–1
Nk  (1 + r)k ak 1/R = (1 + r)k+1 Nk–1 – (1 + r)kNk. Поклавши
uk = (1+ r)k Nk, остаточно рівність запишеться: (1 + r)k ak 1/R = uk–1 – –uk. Здійснивши додавання, маємо:

.

Оскільки u 0 = N i u n = 0, то: .

Відповідно: Цей закон анюїтетів дозволяє обчислити всі елементи облігаційної позики, коли відома послідовність величин a k .

3.2. Нормальна амортизація [4]

Це ситуація, коли анюїтети і купони є сталими, тобто: ak = a i ck = c.

Залежно від типу відшкодування можливі два випадки:

3.2.1. Cталі відшкодування (Rk = R)

У даному випадку під час розрахунку теперішньої вартості анюїтетів згідно з (6) фактично відбувається розрахунок теперішньої вартості постійної ренти за складними відсотками 1 , тому формула закону анюїтетів запишеться:

з r = Ci/R = c/R.

Звідси:

а) ;

б) кількість цінних паперів, вартість яких має бути відшкодована (амортизована) на першу дату виплати відсотків А1:

Згідно з (2): a1 = a = Nc + A1R, звідки:

;

в) сталість величин анюїтетів обумовлює згідно з (5), що величини Аk формують геометричну прогресію з основою (r + 1), а отже,
Ak = A1 (1 + r)k–1.

З урахуванням цієї рівності, виходячи з (3), отримуємо:

.

3.2.2. Змінні відшкодування Rk

Знайдемо величини a, A1, An та Nk для випадку несталості величин Rk:

а) згідно з (2) для ck = c можна записати:

0 = ak+1ak = Nkc + Ak+1Rk+1Nk–1cAkRk= (NkNk–1) c + Ak+1Rk+1
AkRk = Ak+1Rk+1 – (c + R) Ak; відповідно Ak+1Rk+1 = (c + Rk) Ak.

Поклавши rk = c/Rk, отримуємо рекурентне відношення:

.

Отже, справедливо: A2 = (1 + r1) A1 r2/r1, ..., Ak = (1 + rk–1) Ak–1 rk/rk–1.

Помноживши почленно ( k – 1) рівності: ; (7)

б) згідно з (4) маємо: .

З іншого боку, можна записати: a = a1 = A1R1 + Nc = Nc + A1 c/r1.

Прирівнюючи ці дві рівності відносно a, отримуємо:

. Остаточно: ; (8)

в) отримана для А1 формула дає змогу записати:

; (9)

г) модифікуємо рівність a = Nkc + Ak+1Rk+1:

.

Використовуючи рівності (7) — (9), маємо:

.

Для N k отримуємо: з .

3.3 Втрачання облігацією права на купон [2]

У цій ситуації анюїтет ak містить тільки Nk (а не Nk–1) купонів, тобто:

ak = Nkc + AkRk + (AkcAkc) = (Nk + Ak)c + Ak(Rkc) = Nk–1c + AkRk,

де завдяки позначенню Rk=Rkc повертаємося до попереднього випадку, розглянутого у п. 3.2., тільки для вартості відшкодування R  k. Тому відповідно позначимо: rk = c/Rk = c/(Rkc) = (Rk/c – 1)–1 =
= (1/rk – 1)–1 = rk/(1 – rk); 1 + rk = (1 – rk)–1. Аналогічно можливі два випадки залежно від типу відшкодування.

3.3.1. Змінні відшкодування Rk

Отримані у попередньому пункті формули набувають вигляду:

а) ;

б) ;

в) рекурентне співвідношення Ak+1Rk+1 = (c + Rk)Ak модифікується таким чином: Ak+1Rk+1 = (c + Rk)Ak або: Ak+1(Rk+1c) = Ak Rk, звідки:

.

3.3.2. Cталі відшкодування (Rk = R)

Оскільки Rk= R, то відповідно і rk = r, а рівності для a, A1 i Ak+1 стануть:

а); б); в).

З рівності в) видно, що величини Ak у даному випадку формують геометричну прогресію з основою (1 – r)–1.

ІІ. Практичне використання теоретичних положень

Приклад 1. Товариство випускає облігації, що мають такі характеристики (позначення відповідають поданим у п. 1): n = 10; С =
= 1000; іk = 13% для 1  k  5, іk = 14% для 6  k  10. Відшкодування здійснюється тільки на дати 5 і 10 у розмірах: А5 = 5000, А10 = 8000; R5 = 1050, R10 = 1200. Обчислити величини анюїтетів ak.

Розв’язок. Для 1  k  4: ak = Nk–1 Cik + AkRk = Nck + 0 · Rk = 13000 
 1000 · 0,13 = 1690000. Для 6  k  9: ak = Nk–1 Cik + AkRk = (N
–5000) ck + 0 · Rk = 8000 · 1000 · 0,14 = 1120000. На дати 5 і 10 відповідно маємо: a5 = N4Ci5 + A5R5= 1690000 + 5000 · 1050 = 6940000;
a10 = N9 Ci10 + A10R10 = 1200000 + 8000 · 1200 = 10720000.

Приклад 2. Товариство випускає облігації, що мають такі характеристики: n = 10; N = 105; і = 16%; ck = c; Rk = R = 1,05 C. Обчислити величини анюїтетів ak, якщо ak+1 = q ak з q = 1,05.

Розв’язок. З умов прикладу маємо: r = Ci/R = 0,16/1,05 та 1 + r =
=121/105. Теперішня вартість анюїтетів, обчислена за відсотком r, становить згідно з (6):

, звідки: .

Здійснивши підрахунки згідно з умовами прикладу, отримуємо:  = 17750,86754. З іншого боку, згідно з (2) маємо: a1 = NCi + A1R   A1 = (a1 NCi)/R = (  CNCi)/1,05C = (  – Ni)/1,05 = 1667,492895.

Обчислене значення є очевидно неприйнятним, оскільки величини Akмають бути цілими натуральними числами. Тому обчислимо спочатку теоретичні значення Ak з точністю до 5 · 10–3, а потім округлимо отримані результати за допомогою методу цілих частин.

Згідно з (5): (ak+1ak) 1/R = (a1qka1qk–1) 1/R = (q – 1)qk–1 a1/R =
= Ak+1 – (1 + r)AkAk+1 = Ak121/105 + (1,05)k–1  /21 з  = 17 750,86754. Остаточні результати обчислень для Ak (2  k  10), починаючи з A1= 1667,492895 2:

k

A k

N k

A k R

N k c

a k 3

1

1 668

98 332

1 751 400

15 733 120

17 751 400

2

2 767

95 565

2 905 350

15 290 400

18 638 470

3

4 076

91 489

4 279 800

14 638 240

19 570 200

4

5 629

85 860

5 910 450

13 737 600

20 548 690

5

7 465

78 395

7 838 250

12 543 200

21 575 850

6

9 630

68 765

10 111 500

11 002 400

22 654 700

7

12 177

56 588

12 785 850

9 054 080

23 788 250

8

15 165

41 423

15 923 250

6 627 680

24 977 330

9

18 665

22 758

19 598 250

3 641 280

26 225 930

10

22 758

0

23 895 900

0

27 537 180

Приклад 3.Товарство емітує облігації, що мають такі характеристики: n = 8, N = 105, i = 16%, метод розрахунків з передплатниками— нормальна амортизація із змінними величинами відшкодування Rk = (0,98 + 0,02k)C. Обчислити величини анюїтетів ak.

Розв’язок. З умов прикладу маємо: rk = Ci/Rk = 0,16/(0,98 + 0,02k) =
= 8/(49 + k).

Згідно з (8): .

A k +1 R k +1 = ( c + R k ) A k  (0,98 + 0,02( k + 1)) A k +1 = (0,98 + 0,02 k + + 0,16) A k A k +1 = A k (1,14 + 0,02 k )/(1 + 0,02 k ) = A k (57 + k )/(50 + k ). Остаточні результати обчислень для A k (k  2), починаючи з A 1 = =7787,57483 4 :

k

A  k

A k

N k

R k

A kR k

N kc

a k 5

1

7 787,57

7 788

92 212

1 000

7 788 000

14 753 920

23 788 000

2

8 856,46

8 856

83 356

1 020

9 033 120

13 336 960

23 787 040

3

10 048,67

10 049

73 307

1 040

10 450 960

11 729 120

23 787 920

4

11 375,86

11 376

61 931

1 060

12 058 560

9 908 960

23 787 680

5

12 850,50

12 850

49 081

1 080

13 878 000

7 852 960

23 786 960

6

14 486,02

14 486

34 595

1 100

15 934 600

5 535 200

23 787 560

7

16 296,78

16 297

18 298

1 120

18 252 640

2 927 680

23 787 840

8

18 298,13

18 298

0

1 140

20 859 720

0

23 787 400

ЛІТЕРАТУРА

1. M. Saada . Mathematiques financieres : Presses universitaires de France, 1985. — 127 p.

2. P. Bonneau. Les mathematiques financieres et leurs applications: Dunod, 1986. — 200 p.

3. B. de Finetti. Lecons de mathematiques financieres: Dunod, 1979. — 1998 p.

4. M. Saada . Exercices et problemes de mathematiques financieres : Vuilbert, 1980. — 113 p.

1 Формула теперішньої вартості V 0 постійної ренти за складними відсотками: .

2 Розрахунки для С = 1000.

3 Обчислення a k відбувається за допомогою (2).

4 Розрахунки для С = 1000.

5 У даному випадку не вдалося строго дотриматися сталості величини анюїтету, теоретичне значення якого згідно з (2): a = a 1 = 23787574,83. Проте відносні помилки ( a k a )/ a k  23 · 10 –6 , а тому на них можна не зважати.


загрузка...