Навігація
Посилання


Економіка та підприємництво

ОПТИМІЗАЦІЯ СТРУКТУРИ ПОРТФЕЛЯ У П’ЯТIЙ ІНФОРМАЦІЙНIЙ СИТУАЦІЇ


Уведемо такі позначення: k — кількість виглядів цінних паперів, що залучаються до портфеля і пронумерованих від 1 до k ; — допустимий портфель, де — частка i -го цінного папера (); — кількість можливих для спостереження величин норм прибутку; — імовірність відповідних можливих норм прибутку (); — можливі норми прибутку i -го цінного папера (,); дискретні випадкові величини та — норми прибутку від i -го цінного папера () та портфеля цінних паперів; — функціонал оцінювання (матриця) розміром .

Традиційно ризикові цінні папери характеризуються двома показниками: сподіваною нормою прибутку

() (1)

та ступенем ризику — дисперсією (варіацією)

() (2)

чи середньоквадратичним відхиленням норми прибутку i -го цінного папера () від його сподіваної величини

(). (3)

Сподіване значення (математичне сподівання) норми прибутку портфеля є зваженою середньої очікуваної норми прибутку від окремих цінних паперів:

. (4)

Ступінь ризику портфеля оцінюється середньо-квадратичним відхиленням , яке обчислюється на базі дисперсії (варіації) його норми прибутку:

, (5)

де — коефіцієнт кореляції між нормами прибутку i -го та l -го цінних паперів (, ):

(, ). (6)

Для першої інформаційної ситуації [1, 2], яка характеризується заданим розподілом ймовірностей , аналізу та методам розрахунку оптимальної структури портфеля цінних паперів присвячена велика кількість досліджень [2, 3, 4, 5].

Припустимо, що розподіл імовірностей невідомий. Згідно з (1), (2), (3), (6) сподівані норми прибутку , ризики , , коефіцієнти кореляції є функціями n змінних , а сподівана норма прибутку (4) портфеля та його ризик (5) є функціями змінних .

Для інформаційної ситуації , яка характеризується антагоністичною поведінкою середовища, математична модель задачі обрання оптимальної структури портфеля має вигляд

, (7)

="font-family: ´Times New Roman´, serif;"> , (8)

, (9)

за системи обмежень

, (10)

, (11)

(), (12)

(). (13)

Таким чином, маємо задачу з трьома критеріями (7)—(9) за системи обмежень (10)—(13). За умови активної протидії середовища можливості прийняття рішень суб’єктом керування аналізують за основними правилами теорії антагоністичних ігор. У [6, 7] запропоновано застосування теорії ігор щодо теорії портфеля. Розглянемо гру, яка має платіжну матрицю , де — можливі норми прибутку i -го цінного папера (, ). Якщо у грі двох осіб

, (14)

то гра має розв’язок у змішаних стратегіях. Якщо , і гру, яка має платіжну матрицю , не можна спростити до розміру , то для її розв’язання гра зводиться до задачі лінійного програмування, яку зручно розв’язати симплексним методом із застосуванням ЕОМ. Розв’язком заданої гри є пара оптимальних змішаних стратегій і , і ціна гри .

Нехай , (). Якщо другий гравець застосовує активну стратегію, то середній виграш першого гравця буде відповідно дорівнювати ціні гри: (), тобто норма прибутку портфеля буде . Отже, його ризик буде мінімальним:. Одержаний результат сформулюємо у вигляді теореми.

Теорема . Нехай , гра, яка має платіжну матрицю , не має сідлової точки, існує така оптимальна змішана стратегія другого гравця , де (), . Тоді є вектором Парето задачі (7)—(9) за системи обмежень (10)—(13), де оптимальна змішана стратегія першого гравця є ефективним портфелем.

Зауваження . Якщо один з гравців дотримується своєї оптимальної стратегії, то другому не буде вигідно відхилятись від своєї оптимальної змішаної стратегії: ,

тобто , , де , і згідно з (11) і (13) можна прийняти (), тобто .

Нехай і маємо (14). Це означає, що для п’ятої інформаційної ситуації оптимальна змішана стратегія другого гравця є розподілом імовірностей станів економічного середовища, яке активно протидіє досягненню найбільшої ефективності рішень. При цьому, використавши оцінку , можна задачу (7)—(9) за системи обмежень (10) – (13) звести до задачі з двома критеріями (7) і (8) за системи обмежень (11) і (13), тобто до задачі обрання оптимальної структури портфеля у першiй інформаційнiй ситуації.

ЛIТЕРАТУРА

1. Трухаев Р. И. Модели принятия решений в условиях неопределенности. — М.: Наука, 1981. — 258 с.

2. Вiтлiнський В. В. Аналіз, оцінка і моделювання економiчного ризику.— К.: ДЕМІУР, 1996. — 212 с.

3. Markowitz H. Portfolio Selection. Efficient Diversification of Investments. N.Y.Johu Wiley and Sons, 1959. — 129 p.

4. Elton E. J., Gruber M. J. Modern Portfolio Theory and Investment Analysis. № 4. Johu Wiley and Sons, 1987. — 284 p.

5. Лукашин Ю. П. Оптимизация структуры портфеля ценных бумаг // Экономика и математические методы. — 1995. — Т. 31. — Вип. 1. — С. 138—150.

6. Сiгал А. В. Застосування теорiї iгор щодо теорiї портфеля // Машинна обробка iнформацiї: Зб. — К.: КНЕУ, 1998. — Вип. 61. — С. 154—160.

7. Сiгал А. В. Формування множини ефективних портфелiв за умови невiдомого розподiлу ймовiрностей // Машинна обробка iнформацiї: Зб. — К.: КНЕУ, 1998. — Вип. 62. — С. 147—151.


загрузка...