Навігація
Посилання


Менеджмент підприємства

Приклад розробки моделі лінійного програмування для виробництва двох виробів


Припустимо, що хімічний завод виробляє два види товарів – А і Б у кількості, відповідно рівній Х і Y. Менеджер, опрацювали відповідну інформацію, одержали дані, зведені в таблицю 5.9. Його метою є отримання максимального прибутку (Пр). При цьому цільова функція має вигляд:

Прmax = 60Х + 50Y.

Таблиця 5.9. Вартісні показники товарів

ФОРМУЛЮВАННЯ ОБМЕЖЕНЬ

Робочий час обладнання при виробництві товарів характеризується такими цифрами:

Припустимо, що впродовж двотижневого періоду фонд робочого часу для обладнання А становить 80 год., а для обладнання Б – 60 год. Тоді для обладнання А має місце обмеження 2Х + 4Y ≤ 60.

Вивчення ринку виявило, що можна реалізувати не більше 16 одиниць товару А і не більше 18 одиниць товару Б. Тоді Х≤ 16; Y≤ 18.

Найменша кількість одиниць товарів не повинна бути меншою від нуля, тобто Х ≥ 0; Y ≥ 0.

Таким чином, лінійна оптимізаційна модель має такий вигляд: цільова функція

Прmax = 60Х + 50Y (5.16)

за таких обмежень:

2Х + 4Y ≤ 80 (обладнання А) (5.17)

3Х + 2Y ≤ 60 (обладнання Б) (5.18)

Х ≤ 16 (попит на товар А) (5.19)

Y ≤ 18 (попит на товар Б) (5.20)

Х ≥ 0 (5.21)

Y ≥ 0 (5.22)

Графічний розв’язок моделі поданий на рисунку 5.20; лініями 1-6, що зображують обмеження (5.17)–(5.22), окреслено область abcdef можливих розв’язків. Цільова функція може бути записана в матричній формі

Розв’язок - це геометричне місце точок, що належать лініям 7, які розміщені перпендикулярно до вектора 8, проведеного через початок координат і точку «g» з координатами Х = 60 і Y = 50 (або Х = 6 і Y = 5).

Оскільки потрібно знайти максимум цільової функції, то зміщуючи лінії 7 вправо, знайдемо те граничне їх положення на межі зони можливих розв’язків, яке і дає максимальне значення функції. Це значення отримуємо в точці d на лінії 7*, в якій Х = 10 і Y = 15. При цьому Прmax = 60*10 + 50*15 = 1350. Легко впевнитись, що за будь-яких інших значень Х та Y прибуток не перевищує цю максимальну величину.

Систему нерівностей (5.17)–(5.22) можемо перетворити в систему рівнянь, тому введемо резервні змінні WA i WБ . При цьому нерівність (5.17) перетворюється у рівність

2Х + 4Y + WА = 80, (5.23)

а нерівність (5.18) перетворюється в рівність

3Х + 2Y + WБ = 60, (5.24)

де WA, WБ – час простою обладнання А і Б.

Також має дотримуватись угода, згідно з якою WA = 0 i WБ = 0. Розв’язок, що включає будь-які простої обладнання, повинен знаходитись у межах області можливих розв’язків abcdef (рисунок 5.20).

Рисунок 5.20. Графічний розв’язок лінійної оптимізаційної моделі (5.17) – (5.22)

Привабливість використання резервних змінних (у нашому випадку – це тривалість простоїв обладнання) можна продемонструвати на такому прикладі. Припустимо, що товару А вироблено 9 одиниць, а товару Б – 14 одиниць. Тоді, на основі рівняння (5.23) одержуємо, що

WA= 80 – 2*9 – 4*14 = 6 год.

Це означає, що машина А за цих обставин простоює 6 год., а працює 74 год. З рівняння (5.24) знаходимо, що

= 60 – 3*9 – 2*14 = 5 год.,

тобто простої машини Б становлять 5 год. (продуктивна робота – 55 год.). При цьому значення цільової функції

Пр = 60Х + 50Y + 0*WA + 0*WБ = 1240.

Таким чином, приймаючи різні значення виробництва товарів, визначаємо, які простої обладнання при цьому мають місце.


загрузка...